Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der kleinsten Quadrate ( kurz : MDQ ) nach GAUSS (1795)1 und LEGENDRE (1805), welche unter anderem wie in Fuchs FUCHS (1980)2 als L_2-Norm klassifiziert werden kann, ist ein mathematisch begründetes Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit mehr Gleichungen als Unbekannten.

Liegen in einem funktionalen Zusammenhang genauso viele Beobachtungen b_i wie Unbekannte x_i vor, die frei von zufälligen, groben und systematischen Fehlern sind

(1)   \begin{flalign*} \left\{ \begin{array}{c} x_{11} + x_{12} + \ldots + x_{1n} = b_1 \\ x_{21} + x_{22} + \ldots + x_{2n} = b_2 \\ \vdots \\ x_{n1} + x_{n2} + \ldots + x_{nn} = b_n \end{array} \right.& \end{flalign*}

so können die Unbekannten mit Hilfe von klassischen Methoden wie dem Einsetzungsverfahren oder dem Gleichsetzungsverfahren berechnet werden. Sobald jedoch mehr Beobachtungen als Unbekannte vorliegen, welche mit Abweichungen v_i behaftet sind,

(2)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} x_{11} + v_{11} + \ldots + x_{1n} + v_{1n} = b_1 + v_{b1} \\ x_{21} + v_{21} + \ldots + x_{2n} + v_{2n} = b_2 + v_{b2} \\ \vdots \\ x_{m1} + v_{m1} + \ldots + x_{mn} + v_{mn} = b_m + v_{bm} \end{array} \right. \end{equation*}

können die Unbekannten in der Regel nicht mit den o.g. Verfahren widerspruchsfrei ermittelt werden. Um in solchen überbestimmten Gleichungssystemen dennoch zu einem befriedigenden Ergebnis zu gelangen, müssen Kompromisse eingegangen und Widersprüche hingenommen werden. MDQ nimmt diese Widersprüche hin, sorgt aber dafür, dass ihre Quadratesumme ein mathematisch begründetes Minimum

(3)   \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n} v_iv_i \rightarrow min. \end{equation*}

annimmt. Dabei wird zunächst wie in (Abbildung 1 – links) vorgegangen.

Methode der kleinsten Quadrate

Abbildung 1 - Methode der kleinsten Quadrate


 

Passend zum funktionalen Zusammenhang der jeweiligen Beobachtungen wird zunächst eine Näherungslösung ermittelt, deren Fehlerquadrate-Fläche noch nicht minimal ist. Anschließend werden die optimalen Parameter (Abbildung 1 – rechts) über verschiedene Verfahren wie Gauß-Helmert-Modell berechnet.

Ausführliche Beschreibung dieser Methode bieten unter anderem folgende Werke: KOCH (1997)3, NIEMEIER (2008)4, JÄGER (2005)5 sowie CASPARY (2007)6.

Zuletzt aktualisiert: 27. Sep 2012 @ 22:34

Quellenangabe

  1. GAUSS, C.-F., Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae , 2 Tle. Göttingen,1795 []
  2. FUCHS, Helmut: Untersuchungen zur Ausgleichung durch minimieren der Absolutsumme der Verbesserungen , Technische Universität Graz, Fakultät für Bauingenieurwesen, Diss., 1980 S. 3ff. []
  3. KOCH, Karl-Rudolf: Parameterschätzung und Hypothesentests in linearen Modellen. Bonn : Dümmler, 1997. – ISBN 9783427789239 []
  4. NIEMEIER, Wolfgang: Ausgleichungsrechnung : statistische Auswertemethoden. Berlin u.a : De Gruyter, 2008. – ISBN 3110190559 []
  5. JÄGER, Reiner ; MÜLLER, Tilman ; SALER, Heinz ; SCHWÄBLE, Rainer: Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren : ein Leitfaden für Ausbildung und Praxis von Geodäten und Geoinformatikern. Heidelberg : Wichmann, 2005. – ISBN 3879073708 []
  6. CASPARY, Wilhelm: Auswertung von Messdaten : statistische Methoden für Geound Ingenieurwissenschaften. München Wien : Oldenbourg, 2007. – ISBN 9783486583519 []
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